Tema 7 "Teoría de la probabilidad: conceptos básicos. Distribución y reglas básica de la probabilidad. Teorema de Bayes. Distribución de probabilidad discreta: binomial y de Poisson. Distribución de la probabilidad continua"


Tema 7
Teoría de la probabilidad: conceptos básicos. Distribución y reglas básica de la probabilidad. Teorema de Bayes. Distribución de probabilidad discreta: binomial y de Poisson. Distribución de la probabilidad continua


PROBABILIDAD
El concepto de probabilidad es muy frecuencia para comunicarnos y entendernos
                -Las probabilidades de una operación son del 50%
                -Un paciente que ingresa en el hospital tiene un 15% de padecer una infección nosocomial
                -Durante el invierno la probabilidad de enfermedades respiratorias es de un 13%. 13 de cada 100 ciudadanos padece una enfermedad durante el invierno.
En todos estos ejemplos se está dando a la medida de ocurrencia de un evento que es incierto: sobrevivir a la operación, tener una infección…
Se expresa mediante un numero entre o y 1 (o y porcentaje)
En estos ejemplos, si no existe la certeza de que ocurran los hechos, existe una esperanza o miedo dimensionadas y razonables, de que el echo anunciado se vea confirmado
Esta estimación sobre la probabilidad de ocurrencia del evento nos ayuda a tomar decisiones.
Cuanto mas probable es que ocurra un evento, su medida de ocurrencia estará mas próximo a 1 o al 100% y cuanto menos probable, mas se aproxima al 0
Aunque el concepto es simple, ya que se usan de manera intuitiva, su definición es complicada y tiene tres vértices:
                -Enfoque objetivo, cifra numérica en datos empíricos
                               -Enfoque clásico o a priori: numero de casos favorables dividido por el número de casos posibles
                               -Frecuencia relativa o a posteriori: valor real del suceso
                -Enfoque subjetivo o personalistico, opinión o grado de creencia

Probabilidad subjetiva o personalistica
La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene sobre la certeza de una proposición determinada
Por ejemplo: los epidemiológicos s e basan en la experiencia para asignar que el próximo invierno la epidemia de gripe tendrá una probabilidad de 0.0018 (180 caso por 100000 habita)
Este concepto de las probabilidades ha dado lugar al enfoque de análisis de datos estadísticos llamado “estadística Bayesiana”

Probabilidades clásicas o “a priori”
Data del siglo XVIII (Laplace, Pascal, Fermat) desarrollada para resolver problemas relacionados con los juegos de azar (dados, monedas, ruletas…)
Las probabilidades se calculan con un razonamiento abstracto.
Ejemplo: no hay que lanzar el dado para saber que la probabilidad “a priori” de que salga el 6 es de 1/6=0,16
Definición: si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de esos eventos poseen características E, la probabilidad de ocurrencia de E es igual a m/N
P(E)=m/N
Ejemplo: la probabilidad “a priori” de que salga un As en una baraja de póker (52 cartas) será:
P(As)=4/52=0.0769=7.7%

Ley de grandes grupos
La probabilidad a priori de que salga un numero de un dado es P(A)=1/6=0,166=16,6%
Inicialmente esa probabilidad real puede no cumplirse, pero si repetimos muchas veces el experimento, la frecuencia relativa de un suceso A, cualquier, tiene a estabilizarse en torno al valor “a priori”
Dependiendo de las veces que lanzamos el dado saldrá más o menos la probabilidad a priori, cuanto mayor sea la frecuencia de tirada más se parecerá.

Probabilidad relativa o “a posteriori”
Definición: si un suceso es repetido un gran numero de veces, y si algún evento resultante, con la característica E, ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia E, m/n, es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de E
P(frecuencia)=números de veces que se obtiene el resultado que estudia/numero de repeticiones de experimento
P(f)=n/m
Dicho de otra forma, si el número de determinaciones (repeticiones de un experimento aleatorio) es grande, podemos esperar que la probabilidad observada se acerque a la probabilidad teórica.

Para ambos estudios “a priori” y “postriores”
                -Los eventos deben ser mutuamente excluyentes
                -La frecuencia relativa de cada posible evento es un numero entre 0-1
                -La suma de todas las frecuencias deben ser igual a 1

Ejemplo: tipos de sangre y frecuencias relativas en una unidad de hematología de un hospital que tiene a 1000pacientes
Probabilidad teórica o “a priori”:
                Teóricamente: P(a priori)=1/4=25%
Probabilidad relativa o “a posteriori”:
Tipos de sangre
Número de individuos
Frecuencia relativa
0
326
32.6
A
480
48%
B
120
12%
AB
74
7.4%
Total
1000
100%120

Ejemplo2: Se pretende comprobar en un grupo de 700mujeres embarazadas a término, si se han controlado durante el embarazo “control prenatal” y si tiene relación con su grado de instrucción:
Tabla de frecuencia empírica, observada o “a posteriori”
Control prenatal
Primaria
Secundaria
Superior
Total
SI
120
68
52
240
NO
300
142
18
460
Total
420
210
70
700
P(cp)=240/700=0.34=34%
P(cp)=120/700=0.17=17%
Tabla de frecuencia teórica, esperada o “a priori”
Control prenatal
Primaria
Secundaria
Superior
Total
SI
240x420/700=144
240x210/700=72
240x70/700=24
240
NO
460x420/700=276
460x210/700=138
460x70/700=46
460
Total
420
210
70
700
P=144/700=0.2=20% probabilidad a priori de las 700 tiene estudios básicos primarios y esta controlada prenatalmente

EVENTOS O SUCESOS
Cuando se realiza un experimento aleatorio diverso resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama el espacio muestral (S)
Se llama suceso o evento a su subconjunto de dichos resultados (las veces que salen la cara de la moneda, sale cara)
Se llama evento complementario de un suceso A, al formado por los elementos que no están en A y se denomina Ac (resto de situaciones que no es la cara deseada, ejemplo: cruz en lugar de cara)
Se llama evento unión de A y B, AuB, al formado por los resultados experimentales que están en A o B (incluyendo todos los que están en ambos) (suma de todos los resultados de AyB)
Se llama evento intersección de A y B, Au/B, al formado por los elementos que están en A y B, (por ejemplo, que salga el 5-6 a la vez jugando con dos dados, dos resultados a la vez no la suma de ambas)

Propiedades de probabilidades
P(AuB) cuando dos sucesos (AyB) se excluyen mutuamente; P(AuB)=P(A)+P(B);
P(AuB) cuando dos sucesos (AyB) no se excluyen mutuamente; P(AuB)=P(A)+P(B)-P(Av/B)
Tengo 8 personas, 4h y 4m, 2rubios y 2 rubias, Mujeres o rubi@?
P(AuB)=4(mujeres)+4(rubios)-2(hombres morenos)=6 mujeres y/o rubios
P(Au/B) cuando AyB son eventos independientes (la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro) P(Au/B) = P(A)*P(B)

REGLAS BASICAS: TEORIA DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad siempre oscila entre 0 y 1
La probabilidad de un suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad del suceso P(A’)=1-P(A)
La probabilidad de un suceso imposible es 0
La unión de A y B es: P(AuB)=P(A)+P(B)-P(Au/B)
La probabilidad condicionada de un suceso A a otro B se expresa:
P(A/B)=P(Au/B)/P(B)   SiP(B) ≠ 0
Un 15% de los pacientes atendidos en la consulta de enfermería del cachorro padecen hipertensión arterial, y el 25% padecen hiperlipemia, el 5% son hipertensos e hiperlipemicos, cual es la probabilidad de P(A), P(B), P(A) o P(B), probabilidad al azar no padezca ni A ni B

Teorema de Bayes
Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de solo A
En términos mas generales el teorema de Bayes que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A
Por ejemplo, sabiendo la probabilidad de tener dolor de cabeza fado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza
P(A/B) = P(B/A) x P(A/B) / P(B/A) x P(A) + P(B/A’) x P(A’)

Ejercicio:
En un principio existen tres consultas de enfermería que se reparten los habitantes en 40% 25% 35%
La probabilidad de pacientes diagnosticados en la primera visita dependiendo del consultorio es del 80% 90% 95% (P(D/?)
¿Cuál es la probabilidad de escoger un individuo al azar que se le ha diagnosticado un problema de salud en la primera visita proceda de la consulta A? P(A/D)
P(A/D) = P(D/A) x P(A) / P(D/A) x P(A) + P(D/A’) x P(A’)
P(A)=0.4
P(B)=0.25
P(C)= 0.35
P(D/A)=0.8
P(D/B)= 0.9
P(D/C)=0.95
¿Cuál es el centro de salud con mas probabilidad de ser seleccionado por los diagnosticados?


DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EN VARIABLES DISCRETAS:
Distribución binomial
La distribución binomial es un modelo matemático de distribución teórica de (la normal es con variables continuas):
                -Cuando se producen situaciones en las que solo existen dos posibles (cara/cruz, sano/enfermo…)
                -El resultado contenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente
                -La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p y no variable de una prueba a otra. La probabilidad de A’ es 1-p y la representamos por q
                -El experimento consta de un numero n de pruebas
Mediante esta distribución se resuelven los problemas que plantean:
                -Si al hacer un experimento hay una probabilidad p de que ocurra un suceso ¿Cuál es la probabilidad de que en N experimentos el suceso ocurra X veces?
                                -P: probabilidad de ocurrencia; q de no ocurrencia
                               -X: número sucesos favorables
                               -N: número total de ensayos
                -Y…recordar que por definición el factorial de un numero 0 es igual a 1.
                              
Distribución de Poisson
Poisson: médico militar francés que estudia en el s. XIX la probabilidad de que un soldado muera en el campo de batalla por golpes de un caballo
También se llama la distribución de probabilidad de casos raros
Introducción: en esta clase describiremos el uso de la distribución de poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros (eventos que ocurren con poca frecuencia) cuyo resultado lo representa una variable discreta
Utilidad:
                -La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras, no se sabe el total de posibles resultados.
                -Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto (variables discretas)
                -Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña
                -Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido
Definición: se dice que la variable aleatoria discreta X, cuyos valores posibles son 0,1,2…tienen distribución de Poisson con parámetro λ y se escribe X; o (λ), si su función de probabilidad es:
Donde:
                -P(X=x): es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito x
                - λ: promedio de ocurrencias en un intervalo (tiempo, volumen, área…)
                - e: tiene un valor aproximado de 2,71828
                - x: es el número de ocurrencias

Ejemplo: el numero de suicidios en la lima sigue una distribución poisson. Además, se ha calculado que el promedio ocurre dos suicidios por semana. X: número de suicidios
El modelo de probabilidad del número de suicidios será:
                P(x)= e-2*2x / X!; x=0,1,2…
La probabilidad de que la próxima semana ocurra un suicidio se calcula como:
                P(x)= e-2*21 / 1= 0,1353

DISTRIBUCIONES NORMALES
La media de una serie estadística que sigue una distribución normal, le restamos y le sumamos el valor de la desviación típica en esa serie de valores se va a encontrar en el 68.26% de la población.
p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %


Tipificación de valores en una normal:
Extrapolando aparecen los principios básicos de distribuciones normales y podemos tipificar los valores de una normal:
+- 1Sà 68.26% de las observaciones
+-2Sà95.45% de las observaciones
+-1.95Sà95% de las observaciones
+-3Sà 99.73% de las observaciones
+-2.58à99% de las observaciones
Ejemplo:
                X=25    S=2    95%  99%
                25-+1.95*2 = A. 21.1 B.28.9, entre los 21.1 y 28.9 es el 95%
                28-+2.58*2= A. 19.84 B.30.16, entre los 19.8 y 30.16 es el 99%
La típica de los valores se puede realizar si…
                -Trabajamos con una variable continua que:
                               -Sigue una distribución normal (TLC)
                               -Y tiene más de 100unidades (LGN)
                -La tipificación nos permite conocer si otro valor corresponde o no a esa distribución de frecuencia.
Zx=x-x’ / Sx
X’= media de la muestra
S= desviación típica de la muestra

Ejemplo:
En una muestra de 500 mujeres que reciben asistencia queremos saber como la pobreza afecta a su autoestima. Medimos el autoestima con la escala de actitud de 20 puntos (variable continua……..desviación típica 2
¿Qué porcentaje de las destinatarias de la asistencia tiene puntuaciones de autoestima entre 5 y 8?
Para ello hay que transformar las puntuaciones en tipificadas (Z)
Z =x-x’ / S = 5-8 / 2 = -1.5DE
¿Qué porcentaje esta entre 13 y 20?
13-8 / 2 = 2,5 corresponde a 0.62% se sitúan las mujeres entre 13-20 (mirado tabla)
¿Qué proporción de mujeres se encuentra entre 4 y 10? (0,47 y 0,34 están sacado tabla)
4-8 / 2 = -2 ; 0,47= 47%
10-8 / 2= 1 ; 0,34= 34%
Sumamos los % de ambas; 47+34=81% de mujeres están entre 4-10
(HAY QUE PINTAR LA GRAFICA para ver la media)
¿Qué porcentaje de mujeres se encuentra entre 4 y 5?
4-8/2= -2; 0.4772=47,72%
5-8/2= -1.5; 0.4332=43,32%
47.72-43.32=4.4% (en este se restan por que no están pegados a el 8)
¿Qué probabilidad hay que una puntuación de 10.5?
10.5-8/2=1.25; 39.44%
8=50%
50+39.44=89.44%
Primero miramos donde está el sombreado (central o alejado) de nuestra gráfica, buscamos el valor Z, (ejemplo anterior) en nuestro caso 1.5 (no nos fijamos en el signo +/- solo en el número en si), buscamos en la tabla la solución. En este caso nos da 43.32% que esta nuestras mujeres de 5-8

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